پاسخ فعالیت صفحه 19 ریاضی آمار دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت کامل کردن تساوی‌ها با اتحادها صفحه 19 ریاضی دهم انسانی سلام به شما دانش‌آموزان خوب! این فعالیت برای مرور **اتحادهای مهم** در ریاضی است که در فصل‌های بعدی خیلی به کارمان می‌آیند. سه اتحاد اصلی که باید به خاطر بسپارید عبارتند از: 1. **اتحاد مربع دوجمله‌ای:** $\mathbf{(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2}$ 2. **اتحاد مزدوج:** $\mathbf{(a - b)(a + b) = a^2 - b^2}$ 3. **اتحاد جمله مشترک:** $\mathbf{(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab}$ بیایید جاهای خالی را پر کنیم: ### الف) اتحاد مربع مجموع دو جمله **فرمول:** $\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$ در اینجا $\mathbf{a = 2x}$ و $\mathbf{b = \frac{1}{2}}$ است. 1. **جمله‌ی اول ($\mathbf{a^2}$):** $\mathbf{(2x)^2 = 4x^2}$ 2. **جمله‌ی میانی ($\mathbf{2ab}$):** $\mathbf{2 \times (2x) \times (\frac{1}{2}) = 2x}$ 3. **جمله‌ی سوم ($\mathbf{b^2}$):** $\mathbf{(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}}$ $$\mathbf{(2x + \frac{1}{2})^2 = \mathbf{4x^2} + \mathbf{2x} + \frac{1}{4}}$$ --- ### ب) اتحاد مربع مجموع دو جمله (یافتن جمله‌ی دوم) **فرمول:** $\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$ در اینجا، جمله‌ی اول در داخل پرانتز $\mathbf{a = 2y}$ است و جمله‌ی میانی حاصل از بسط، $\mathbf{2ab = 12xy}$ است. 1. **یافتن $\mathbf{b}$:** می‌دانیم $\mathbf{2ab = 12xy}$. پس: $$2 \times (2y) \times b = 12xy$$ $$4yb = 12xy$$ با تقسیم دو طرف بر $\mathbf{4y}$، خواهیم داشت: $\mathbf{b = 3x}$ 2. **کامل کردن عبارت‌ها:** * **جمله‌ی اول ($\mathbf{a^2}$):** $\mathbf{(2y)^2 = 4y^2}$ * **جمله‌ی سوم ($\mathbf{b^2}$):** $\mathbf{(3x)^2 = 9x^2}$ $$\mathbf{(2y + \mathbf{3x})^2 = \mathbf{4y^2} + 12xy + \mathbf{9x^2}}$$ --- ### پ) اتحاد مزدوج **فرمول:** $\mathbf{(a - b)(a + b) = a^2 - b^2}$ طرف اول عبارت $\mathbf{(x - 2y)}$ است، پس $\mathbf{a = x}$ و $\mathbf{b = 2y}$ است. * **جمله‌ی دوم پرانتز:** باید $\mathbf{(a + b)}$ باشد: $\mathbf{x + 2y}$ * **طرف دوم تساوی:** $\mathbf{x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2}$ (که در صورت سؤال آمده است.) $$\mathbf{(x - 2y)(\mathbf{x} + \mathbf{2y}) = x^2 - 4y^2}$$ --- ### ت) اتحاد جمله مشترک **فرمول:** $\mathbf{(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab}$ در اینجا عبارت بسط یافته $\mathbf{x^2 - \dots + 12}$ و عبارت تجزیه شده $\mathbf{(x-6)(x-2)}$ است. * **عدد $\mathbf{a}$:** $\mathbf{-6}$ * **عدد $\mathbf{b}$:** $\mathbf{-2}$ 1. **جمله‌ی وسط (ضریب $\mathbf{x}$):** $\mathbf{(a + b)x}$ $$(-6 + (-2))x = -8x$$ 2. **جمله‌ی ثابت:** $\mathbf{ab}$ $$(-6) \times (-2) = 12$$ (که در صورت سؤال آمده است.) $$\mathbf{x^2 - \mathbf{8x} + 12 = (x-6)(x-2)}$$ --- ### ث) اتحاد مربع تفاضل دو جمله **فرمول:** $\mathbf{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$ در اینجا $\mathbf{a = x}$ و $\mathbf{b = \frac{3}{2}}$ است. 1. **جمله‌ی اول ($\mathbf{a^2}$):** $\mathbf{(x)^2 = x^2}$ 2. **جمله‌ی میانی ($\mathbf{-2ab}$):** $\mathbf{-2 \times (x) \times (\frac{3}{2}) = -3x}$ 3. **جمله‌ی سوم ($\mathbf{b^2}$):** $\mathbf{(-\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}}$ (که در صورت سؤال آمده است.) $$\mathbf{(x - \frac{3}{2})^2 = \mathbf{x^2} - \mathbf{3x} + \frac{9}{4}}$$